Zadanie 7
2011
Etap I
★★★★☆Geometria
Sześcian z
Treść zadania
Niech będzie sześcianem, jak na rysunku. Punkty , , , są odpowiednio środkami krawędzi , , , . Punkty i leżą odpowiednio na odcinkach i . Krawędź sześcianu jest równa 2. Udowodnij, że .
Umiejętności (4)
Wymagane umiejętności:
Geometria przestrzenna
Układ współrzędnych
Zdobywane umiejętności:
Geometria przestrzenna
Zasada ekstremalna
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Narysuj sześcian i zaznacz na nim punkty K, L, M, N. Zastanów się, jak w przestrzeni ułożone są względem siebie odcinki KM i LN. Czy są równoległe? Czy się przecinają?
Wskazówka 2
Problem jest w trzech wymiarach, co bywa trudne. Spróbuj go uprościć, patrząc na "cień" całej sytuacji, czyli rzutując kluczowe punkty i odcinki na jedną z płaszczyzn.
Wskazówka 3
Na którą płaszczyznę najlepiej rzutować? Wybierz taką, na której rzuty odcinków KM i LN utworzą prostą i czytelną konfigurację. Rozważ rzut na płaszczyznę podstawy sześcianu, czyli ABCD.
Wskazówka 4
Rzuty odcinków KM i LN leżą na dwóch prostych równoległych. Odległość między punktami P i Q jest związana z odległością ich rzutów. Zastosuj twierdzenie Pitagorasa w trzech wymiarach.