Zadanie 1

Porównaj osobno $\sqrt{x^2+1}$ z $x$ oraz $\sqrt{y^2+1}$ z $y$. Co możesz powiedzieć o tych nierównościach dla dowolnych liczb rzeczywistych?

Spróbuj pokazać, że lewa strona równania jest zawsze większa od prawej. Użyj prostych nierówności między pierwiastkiem a jego składnikami.

Zauważ, że $x^2 + 1 > x^2$ dla każdego $x$. Co to oznacza dla wartości $\sqrt{x^2+1}$ w porównaniu z $|x|$?

Pokaż, że $\sqrt{x^2+1} > x$ dla każdego rzeczywistego $x$ (rozważ osobno przypadki $x \geq 0$ i $x < 0$). Następnie dodaj analogiczną nierówność dla $y$.