Zadanie 1
2010
Etap II
★★★★☆Geometria
Algebra
Pięciokąt wypukły o równych polach trójkątów
Powiązane zadania:
Zad. 4 (2010)
Treść zadania
Dany jest taki pięciokąt wypukły , w którym pola trójkątów , , , i są równe. Wykaż, że każda przekątna tego pięciokąta jest równoległa do pewnego jego boku.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Metody polowe
Trapezy i równoległoboki
Zdobywane umiejętności:
Metody polowe
Trapezy i równoległoboki
Wzory skróconego mnożenia
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Przypomnij sobie, jak związane są pola dwóch trójkątów mających wspólną podstawę. Co można powiedzieć o ich wysokościach, gdy pola są równe?
Wskazówka 2
Spróbuj porównywać pary trójkątów, które mają wspólny bok (przekątną). Wykorzystaj warunek równości pól, żeby wywnioskować coś o położeniu pozostałych wierzchołków.
Wskazówka 3
Weź dowolną przekątną, np. . Znajdź dwa trójkąty z warunków zadania, które mają jako bok. Co wynika z równości ich pól dla położenia przeciwległych wierzchołków względem prostej ?
Wskazówka 4
Jeśli trójkąty i mają równe pola i wspólną podstawę , to punkty i leżą w tej samej odległości od prostej . Co to oznacza dla odcinka względem ?