Zadanie 6
2010
Etap I
★★★☆☆Geometria
Czworokąt wpisany z prostopadłymi i
Treść zadania
Czworokąt wypukły jest wpisany w okrąg. Jego przekątne przecinają się w punkcie , a kąt jest rozwarty. Prosta przechodząca przez punkt i prostopadła do prostej przecina prostą przechodzącą przez punkt i prostopadłą do prostej w punkcie . Wykaż, że proste i są prostopadłe.
Umiejętności (4)
Wymagane umiejętności:
Okręgi i koła
Obliczanie kątów
Zdobywane umiejętności:
Okręgi i koła
Obliczanie kątów
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Narysuj starannie całą konfigurację. Z definicji punktu F wynikają dwa kąty proste. Zaznacz je na rysunku. Gdzie one się znajdują?
Wskazówka 2
Kąty proste często sugerują istnienie okręgów. Poszukaj czworokąta, którego wierzchołki leżą na jednym okręgu, wykorzystując kąty proste z konstrukcji.
Wskazówka 3
Kąty i są proste. Na jakim wspólnym odcinku są one oparte? Co to oznacza dla punktów ?
Wskazówka 4
Aby wykazać, że , rozważ sumę kątów w trójkącie utworzonym przez te proste i przekątną . Wykorzystaj kąty wpisane w nowym okręgu, a następnie w okręgu z zadania, by powiązać te kąty.