Zadanie 2
2010
Etap I
★★★★☆Geometria
Czworościan z okręgami opisanymi
Treść zadania
W pewnym czworościanie każdy wierzchołek połączono odcinkiem ze środkiem okręgu opisanego na przeciwległej ścianie. Okazało się, że otrzymane odcinki są wysokościami czworościanu. Wykaż, że czworościan ten jest foremny.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Geometria przestrzenna
Punkty szczególne trójkąta
Okręgi i koła
Zdobywane umiejętności:
Geometria przestrzenna
Punkty szczególne trójkąta
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Rozważ jeden wierzchołek czworościanu, np. , i przeciwległą mu ścianę . Gdzie, zgodnie z treścią zadania, opada wysokość z wierzchołka i jaka jest kluczowa własność tego punktu?
Wskazówka 2
Wysokość z wierzchołka tworzy trójkąty prostokątne z krawędziami , i . Zauważ, że wszystkie te trójkąty mają jeden wspólny bok. Jaki?
Wskazówka 3
Spodek wysokości z jest równo odległy od wierzchołków . Połącz ten fakt z obserwacją z poprzedniej wskazówki. Co możesz powiedzieć o krawędziach ?
Wskazówka 4
Wykaż, że krawędzie wychodzące z wierzchołka są równe. Następnie zastosuj to samo rozumowanie dla wierzchołka . Połącz wnioski, aby udowodnić, że wszystkie krawędzie czworościanu są równe.