Zadanie 3

Przyjrzyj się mianownikom. Zauważ, że mianownik drugiego ułamka zawiera mianownik pierwszego, a trzeciego zawiera mianownik drugiego. Sugeruje to powtarzalną strukturę.

Zamiast sprowadzać do wspólnego mianownika, spróbuj przedstawić każdy ułamek jako różnicę dwóch wyrażeń. Taki zabieg często pozwala na redukcję sąsiednich wyrazów po dodaniu ich do siebie.

Zauważ, że $\frac{a}{a+1} = 1 - \frac{1}{a+1}$. Aby zastosować to do kolejnych ułamków, wyłącz wspólny czynnik przed nawias, np. zapisz $\frac{b}{(a+1)(b+1)}$ jako $\frac{1}{a+1} \cdot \frac{b}{b+1}$.

Zapisz całą sumę, zastępując ułamki otrzymanymi różnicami. Zauważ, że wyrazy redukują się 'kaskadowo'. Spójrz na to co zostało i uzasadnij, dlaczego wynik jest mniejszy od 1.