Zadanie 5

Aby znaleźć możliwe wartości $n$, sprawdź przypadek $y=x$. Otrzymasz $x^{n+1} < 2x^4$. Zbadaj, co dzieje się dla bardzo dużych i bardzo małych $x$, gdyby wykładniki po obu stronach były różne.

Analiza powinna doprowadzić Cię do jedynego kandydata $n=3$. Aby udowodnić nierówność $xy^3 < x^4 + y^4$, nie musisz przekształcać całego wyrażenia. Rozbij problem na dwa przypadki: $x \ge y$ oraz $x < y$.

W każdym z przypadków spróbuj pokazać, że lewa strona $xy^3$ jest mniejsza od JEDNEGO ze składników sumy po prawej stronie ($x^4$ lub $y^4$). To wystarczy, bo drugi składnik jest dodatni.

Gdy $x \ge y$, wykorzystaj fakt, że $x^3 \ge y^3$. Pomnóż tę nierówność stronami przez $x$ - otrzymasz oszacowanie $xy^3$ przez $x^4$. Przeprowadź analogiczne rozumowanie dla $y > x$.