Zadanie 4

Nierówność $CM \geq X$ oznacza, że szukamy najmniejszej możliwej długości odcinka $CM$. Zastanów się, dla jakiego kształtu trójkąta $ABC$ (z zachowanym kątem $120^\circ$) mediana $CM$ będzie najkrótsza.

Punkty $A$ i $B$ są stałe, a wierzchołek $C$ może zmieniać swoje położenie. Pomyśl, jaki zbiór punktów tworzą wszystkie możliwe położenia punktu $C$, dla których kąt $\angle ACB$ ma miarę $120^\circ$.

Zbiór punktów, z których odcinek $AB$ widać pod stałym kątem, to łuk okręgu. Zadanie sprowadza się więc do znalezienia najkrótszej odległości od punktu $M$ do punktów tego łuku.

Znajdź środek i promień okręgu zawierającego łuk, na którym leży punkt $C$. Najmniejsza odległość od $M$ do tego łuku znajduje się na prostej łączącej $M$ ze środkiem okręgu.