Trener OMJ - Olimpiada Matematyczna Juniorów

Liczby całkowite

a

,

b

oraz

c

są takie, że iloczyny

a \cdot (b+c) \quad \text{oraz} \quad b \cdot (a+c)

są dwiema kolejnymi liczbami całkowitymi. Wykaż, że co najmniej jeden z tych iloczynów jest kwadratem liczby całkowitej.

Wzory skróconego mnożenia

Analiza przypadków

Analiza przypadków

Wzory skróconego mnożenia

Podzielność

Wskazówka 1

Oblicz różnicę

a(b+c) - b(a+c)

i uprość otrzymane wyrażenie. Co wiesz o różnicy dwóch kolejnych liczb całkowitych?

Wskazówka 2

Skoro iloczyny są kolejne, ich różnica to

\pm 1

. Otrzymasz równanie postaci

c(a-b) = \pm 1

. Jakie pary liczb całkowitych mnożą się do

1

lub

-1

?

Wskazówka 3

Rozważ wszystkie możliwe przypadki:

(c, a-b) \in \{(1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1)\}

. Dla każdego przypadku wyznacz zależność między

a

i

b

.

Wskazówka 4

W każdym przypadku podstaw znalezioną zależność między

a

i

b

do wyrażeń

a(b+c)

oraz

b(a+c)

. Sprawdź, czy któryś z iloczynów da się zapisać jako kwadrat.

Zaloguj się, aby przesłać swoje rozwiązanie

Zadanie 1