Trener OMJ - Olimpiada Matematyczna Juniorów

Treść zadania

W pięciokącie wypukłym

ABCDE

spełnione są równości

\angle CDE = 90^\circ, \quad AC = AD \quad \text{oraz} \quad BD = BE.

Wykaż, że trójkąt

ABD

i czworokąt

ABCE

mają równe pola.

*Uwaga:* Wielokąt nazywamy *wypukłym*, jeśli wszystkie jego kąty wewnętrzne są mniejsze od

180^\circ

.

Zadania PDF Rozwiązania PDF

Zgłoś błąd

Umiejętności (3)

Wymagane umiejętności:

Metody polowe

Trójkąt równoramienny

Zdobywane umiejętności:

Metody polowe

Wskazówki (0/4)

Wskazówka 1

Zauważ, że pole czworokąta

ABCE

to różnica pola całego pięciokąta i pola trójkąta

CDE

. Zapisz pole pięciokąta jako sumę pól trzech trójkątów:

ABD

,

BCD

i

ADE

.

Wskazówka 2

Skorzystaj z faktu, że

A

i

B

leżą na symetralnych boków

CD

i

DE

. Ponieważ

\angle CDE = 90^\circ

, zauważ, że symetralna boku

CD

jest równoległa do prostej

DE

.

Wskazówka 3

Skoro symetralna

CD

jest równoległa do

DE

, to odległość punktu

A

od prostej

DE

jest równa odległości środka odcinka

CD

od prostej

DE

. Wyznacz tę odległość.

Wskazówka 4

Oblicz pola trójkątów

ADE

i

BCD

przyjmując

DE

i

CD

za podstawy. Wykaż, że suma ich pól równa jest polu trójkąta

CDE

i wstaw ten wniosek do równości z pierwszej wskazówki.

Prześlij rozwiązanie

Zaloguj się, aby przesłać swoje rozwiązanie

Zaloguj się

Zadanie 4