Zadanie 3

Przekształć warunek $\sqrt{2n} < k < \sqrt{5n}$ podnosząc go do kwadratu. Zadanie sprowadza się do pytania: czy w przedziale $(2n, 5n)$ zawsze znajduje się kwadrat liczby całkowitej?

Przeprowadź dowód nie wprost. Załóż, że w przedziale $(2n, 5n)$ nie ma żadnego kwadratu. Oznacza to, że cały ten przedział musi zmieścić się w 'luce' pomiędzy dwoma kolejnymi kwadratami $m^2$ i $(m+1)^2$.

Porównaj długości tych przedziałów. Przedział $(2n, 5n)$ ma długość $3n$. Luka między $m^2$ a $(m+1)^2$ ma długość $2m+1$. Jeśli pierwszy przedział mieści się w drugim, to musi zachodzić nierówność $3n \le 2m+1$.

Wykorzystaj fakt, że $m^2 \le 2n$ (czyli $m \le \sqrt{2n}$). Podstaw to oszacowanie do nierówności $3n \le 2m+1$. Czy ta nierówność może być prawdziwa dla dużych $n$, skoro lewa strona rośnie znacznie szybciej niż prawa? Małe przypadki sprawdź ręcznie.