Zadanie 7

Zadanie wspomina o dwóch kątach prostych. Jaki jest zbiór wszystkich punktów $P$ w przestrzeni, dla których kąt $\angle APB$ jest prosty, przy ustalonych punktach A i B? Gdzie w takim razie muszą leżeć punkty C i D?

Skoro C i D leżą na sferze o średnicy AB, rozważ jej środek M (będący też środkiem AB). Połącz M z wierzchołkami czworościanu. Które z nowo powstałych odcinków mają jednakową długość, równą promieniowi sfery?

Zauważ, że powstały trzy trójkąty równoramienne ze wspólnym wierzchołkiem M: $\triangle AMC$, $\triangle CMD$ i $\triangle DMB$. Wykorzystaj dane z zadania ($AC=CD=DB$) aby porównać kąty przy wierzchołku M w tych trójkątach.

Suma kątów $\angle AMC + \angle CMD + \angle DMB$ odpowiada kątowej drodze od A do B. Porównaj sumę miar tych kątów z miarą kąta $\angle AMB$. Wykorzystaj tę zależność, aby znaleźć ograniczenie na miarę kąta $\angle AMC$ i zakończyć dowód.