Zadanie 5
2010
Etap II
★★★★☆Geometria
Sześć kul w czworościanie foremnym
Treść zadania
Dany jest czworościan foremny opisany na sferze o promieniu . Udowodnij, że w tym czworościanie można umieścić kul o promieniu , w taki sposób, aby każde dwie kule miały co najwyżej jeden punkt wspólny.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Geometria przestrzenna
Twierdzenie Pitagorasa
Konstrukcja przykładu
Zdobywane umiejętności:
Geometria przestrzenna
Konstrukcja przykładu
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Czworościan ma 6 krawędzi, a my mamy 6 kul. Spróbuj powiązać każdą kulę z jedną krawędzią. Jakie dwa warunki muszą spełniać te kule, aby rozwiązanie było poprawne?
Wskazówka 2
Wykorzystaj symetrię czworościanu. Rozważ umieszczenie środków kul na odcinkach łączących środek czworościanu ze środkami jego krawędzi .
Wskazówka 3
Środek czworościanu jest oddalony od każdej ściany o . Środek krawędzi leży na dwóch ścianach (odległość ). Gdzie na odcinku znajduje się punkt, którego odległość od tych dwóch ścian wynosi ?
Wskazówka 4
Wykaż, że środki kul leżą dokładnie w połowie odcinków . Oblicz odległość między środkami dwóch takich kul, rozważając przypadki krawędzi sąsiednich oraz przeciwległych.