Zadanie 5
2007
Etap II
★★★★☆Geometria
Kombinatoryka
Przekrój sześcianu - pięciokąt
Treść zadania
Czy można tak przeciąć sześcian płaskim cięciem na dwie bryły o równych objętościach, aby w przekroju otrzymać pięciokąt? Odpowiedź uzasadnij.
Umiejętności (4)
Wymagane umiejętności:
Geometria przestrzenna
Konstrukcja przykładu
Techniki zliczania
Zdobywane umiejętności:
Geometria przestrzenna
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Zadanie stawia dwa warunki: przekrój ma być pięciokątem, a powstałe bryły mają mieć równe objętości. Zastanów się, co warunek o równych objętościach mówi o położeniu płaszczyzny tnącej.
Wskazówka 2
Płaszczyzna dzieląca sześcian na dwie równe części musi przechodzić przez jego środek symetrii. Pomyśl o konsekwencjach tego faktu dla ścian sześcianu.
Wskazówka 3
Rozważ parę przeciwległych ścian sześcianu. Jeśli płaszczyzna przechodząca przez środek sześcianu przecina jedną z tych ścian, to czy musi przeciąć także drugą? Dlaczego?
Wskazówka 4
Liczba boków wielokąta w przekroju jest równa liczbie przeciętych ścian. Skoro ściany są przecinane parami, to jaką własność musi mieć liczba boków przekroju? Czy pięciokąt ją spełnia?