Zadanie 4

2007

Etap II

★★★★☆

Teoria liczb

Algebra

Potęga

2^n

jako suma kolejnych liczb

Treść zadania

Czy istnieje taka dodatnia liczba całkowita

n

, dla której liczbę

2^n

można przedstawić w postaci sumy co najmniej dwóch kolejnych dodatnich liczb całkowitych? Odpowiedź uzasadnij.

Zadania PDF Rozwiązania PDF

Zgłoś błąd

Umiejętności (4)

Wymagane umiejętności:

Parzystość i nieparzystość

Ciągi liczbowe

Podzielność

Zdobywane umiejętności:

Parzystość i nieparzystość

Wskazówki (0/4)

Wskazówka 1

Niech suma zaczyna się od liczby

k \ge 1

i składa się z

L \ge 2

kolejnych liczb. Zapisz wzór na tę sumę w zależności od

k

L

Wskazówka 2

Przyrównaj otrzymany wzór do

2^n

i przekształć równanie, aby pozbyć się ułamka. Otrzymasz równanie postaci

2^{n+1} = L \cdot (\dots)

. Jakie dzielniki ma lewa strona równania?

Wskazówka 3

Zastanów się nad parzystością dwóch czynników po prawej stronie równania:

L

oraz

(2k+L-1)

. Jaka jest parzystość ich sumy? Co to oznacza dla parzystości każdego z tych czynników?

Wskazówka 4

Skoro iloczyn

L \cdot (2k+L-1)

jest potęgą dwójki, a jeden z czynników jest nieparzysty, to jaką wartość musi przyjąć ten nieparzysty czynnik? Sprawdź, czy jest to zgodne z warunkami zadania.

Prześlij rozwiązanie

Zaloguj się, aby przesłać swoje rozwiązanie

Zaloguj się