Zadanie 1

2007

Etap II

★★★★☆

Algebra

Teoria liczb

Liczby dodatnie

a

b

i niewymierność

Liczby dodatnie

a

b

spełniają warunek

\frac{a+b}{2} = \sqrt{ab + 3}.

Wykaż, że co najmniej jedna z liczb

a

b

jest niewymierna.

Nierówności

Dowód nie wprost

Wzory skróconego mnożenia

Podzielność

Dowód nie wprost

Wskazówka 1

Zacznij od przekształcenia danego równania. Podniesienie obu stron do kwadratu pozwoli pozbyć się pierwiastka i uprościć wyrażenie.

Wskazówka 2

Spróbuj udowodnić tezę nie wprost. Załóż, że obie liczby

a

b

są wymierne, i poszukaj sprzeczności wynikającej z tego założenia.

Wskazówka 3

Po poprawnym uproszczeniu równania powinieneś otrzymać

(a-b)^2 = 12

. Zastanów się, jakie własności ma lewa strona tego równania, jeśli przyjąć założenie z poprzedniej wskazówki.

Wskazówka 4

Jeżeli liczby

a

b

są wymierne, to ich różnica

a-b

również jest liczbą wymierną. Czy kwadrat liczby wymiernej może być równy 12?

Zaloguj się, aby przesłać swoje rozwiązanie