Zadanie 4

Sprawdź małe wartości $n$, np. $n=1, 2, 3$. Oblicz $14^n - 9$ i oceń, czy wyniki są liczbami pierwszymi. Zwróć uwagę na cyfrę jedności wyników dla $n$ nieparzystych.

Rozważ oddzielnie $n$ parzyste i nieparzyste. Dla $n$ parzystych (czyli $n=2k$) zapisz $14^n - 9$ jako $(14^k)^2 - 3^2$ i zastosuj wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

Dla $n$ nieparzystych zbadaj podzielność przez 5. Wygodnie jest użyć kongruencji: zauważ, że $14 = 3\cdot 5 - 1$, więc $14 \equiv -1 \pmod{5}$. Ile wynosi reszta z dzielenia $14^n - 9$ przez 5?

Skoro dla wszystkich nieparzystych $n$ liczba $14^n - 9$ dzieli się przez 5, to w jakim jedynym przypadku może ona być liczbą pierwszą? Sprawdź, dla jakiego $n$ ten warunek jest spełniony.